"Kamu bisa sukses,meski sekarang kamu belum apa-apa.
Bila kamu pikir kamu bisa,kamu pasti bisa.
Bukan bakat anda,bukan kelahiran anda,
bukan simpanan anda di bank,yang menentukan harga diri anda;
tapi sikap anda.
Bila anda pikir anda bisa,anda pasti bisa.
Tidak perduli apakah anda pernah sukses sebelumnya .Tak ad artinya sukses stngah2.
Capailah tjuan akhir anda.
Jadi,coblah lgy dan coba lgy.
Smpai anda berhasil.
Bila anda pikir anda bisa,anda pasti bisa.
Pegang teguh impian2 anda.
Yakinkanlah hati anda.
Bulatkan tekat sekeras baja.
Anda pasti bisa meraihnya.
Bila anda pkir bs anda pst bsa.
Percyalah pda TUHAN.
It brarti anda telah stngah brhasil.
Pcyalah pd dri sndiri,
it brarti anda telah 2/3 brhasil.Bila anda pikir bisa,anda pasti bisa.
Smangat ya!!!
^_^
Kamis, 03 November 2011
Jumat, 21 Oktober 2011
Sejarah Matematika^^
Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan
Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.
Apakah matematika ilmu yang ‘sulit’?
Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.
Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.
Sumber : Wikipedia
Fakta Penting Matematika^^
Fakta penting: “Matematika bukan…”
Matematika bukan numerologi. Walau numerologi memakai aritmetika modular untuk mengurangi nama dan data pada bilangan digit tunggal, numerologi secara berubah memberikan emosi atau ciri pada bilangan tanpa mengacaukan untuk membuktikan penetapan dalam gaya logika. Matematika ialah mengenai gagasan pembuktian atau penyangkalan dalam gaya logika, namun numerologi tidak. Interaksi antara secara berubah emosi penentuan bilangan secara intuitif diperkirakan daripada yang telah diperhitungkan secara seksama.
Matematika bukan akuntansi. Meskipun perhitungan aritmetika sangat krusial dalam pekerjaan akuntansi, utamanya keduanya mengenai pembuktian yang mana perhitungan benar melalui sistem pemeriksaan ulang. Pembuktian atau penyangkalan hipotesis amat penting bagi matematikawan, namun tak sebanyak akuntan. Kelanjutan dalam matematika abstrak menyimpang pada akuntansi jika penemuan tak dapat diterapkan pada pembuktian efisiensi tata buku konkret.
Matematika bukan sains, karena kebenaran dalam matematika tidak memerlukan pengamatan empiris
Matematika bukan fisika, karena fisika adalah sains.
Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikus sering mempunyai berasal dari ilmu pengetahuan alam, sangat umum di fisika, tetapi mathematikus juga menegaskan dan menyelidiki struktur untuk sebab hanya dalam saja sampai ilmu pasti, karena struktur mungkin menyediakan, untuk kejadian, generalisasi pemersatu bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikus belajar bidang dilakukan mereka untuk sebab yang hanya estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.
Sumber : Wikipedia -
Mitos Matematika^^
Sumber: sigmetris.com
BANYAK mitos menyesatkan mengenai matematika. Mitos-mitos salah ini memberi andil besar dalam membuat sebagian masyarakat merasa alergi bahkan tidak menyukai matematika. Akibatnya, mayoritas siswa kita mendapat nilai buruk untuk bidang studi ini, bukan lantaran tidak mampu, melainkan karena sejak awal sudah merasa alergi dan takut sehingga tidak pernah atau malas untuk mempelajari matematika. Meski banyak, namun ada lima mitos sesat yang sudah mengakar dan menciptakan persepsi negatif terhadap matematika.
Mitos pertama, matematika adalah ilmu yang sangat sukar sehingga hanya sedikit orang yang atau siswa dengan IQ minimal tertentu yang mampu memahaminya. Ini jelas menyesatkan. Meski bukan ilmu yang termudah, matematika sebenarnya merupakan ilmu yang relatif mudah jika dibandingkan dengan ilmu lainnya.Sebagai contoh, amati perbandingan soal untuk siswa kelas 6 sebuah SD swasta berikut ini.
Soal pertama, “Sebutkan 3 tarian khas daerah Kalimantan Tengah.”
Soal kedua, “ Sebuah lingkaran dibagi menjadi tiga buah juring dengan perbandingan masing-masing sudut pusatnya adalah 2 : 3 : 4, maka hitung besar masing-masing sudut pusat juring-juring tersebut“ .
Ternyata, persentase siswa yang menjawab benar soal kedua lebih besar dibandingkan persentase siswa yang menjawab benar soal pertama. Tanpa ingin mengundang perdebatan, contoh di atas menunjukkan, bahwa matematika bukanlah ilmu yang sangat sukar. Soal matematika terasa sulit bagi siswa-siswa kita karena mereka tidak memahami konsep bilangan dan konsep ukuran secara benar semasa di sekolah dasar. Jika konsep bilangan dan ukuran dikuasai, maka pekerjaan menganalisis dan menghitung menjadi hal yang mudah dan menyenangkan.
Mitos kedua, matematika adalah ilmu hafalan dari sekian banyak rumus. Mitos ini membuat siswa malas mempelajari matematika dan akhirnya tidak mengerti apa-apa tentang matematika. Padahal, sejatinya matematika bukanlah ilmu menghafal rumus, karena tanpa memahami konsep, rumus yang sudah dihafal tidak akan bermanfaat.
Sebagai contoh, ada soal berikut, “Benny merakit sebuah mesin 6 jam lebih lama daripada Ahmad. Jika bersama-sama mereka dapat merakit sebuah mesin dalam waktu 4 jam, berapa lama waktu yang diperlukan oleh Ahmad untuk merakit sebuah mesin sendirian ?”. Seorang yang hafal rumus persamaan kuadrat tidak akan mampu menjawab soal tersebut apabila tidak mampu memodelkan soal tersebut ke dalam bentuk persamaan kuadrat. Sesungguhnya, hanya sedikit rumus matematika yang perlu (tapi tidak harus) dihapal, sedangkan sebagian besar rumus lain tidak perlu dihafal, melainkan cukup dimengerti konsepnya. Salah satu contoh, jika siswa mengerti konsep anatomi bentuk irisan kerucut, maka lebih dari 90 persen rumus-rumus irisan kerucut tidak perlu dihafal.
Mitos ketiga, matematika selalu berhubungan dengan kecepatan menghitung. Memang, berhitung adalah bagian tak terpisahkan dari matematika, terutama pada tingkat SD. Tetapi, kemampuan menghitung secara cepat bukanlah hal terpenting dalam matematika. Yang terpenting adalah pemahaman konsep. Melalui pemahaman konsep, kita akan mampu melakukan analisis (penalaran) terhadap permasalahan (soal) untuk kemudian mentransformasikan ke dalam model dan bentuk persamaan matematika. Jika permasalahan (soal) sudah tersaji dalam bentuk persamaan matematika, baru kemampuan menghitung diperlukan. Itu pun bukan sebagai sesuatu yang mutlak, sebab pada saat ini telah banyak beredar alat bantu menghitung seperti kalkulator dan komputer. Jadi, mitos yang lebih tepat adalah matematika selalu berhubungan dengan pemahaman dan penalaran.
Mitos keempat, matematika adalah ilmu abstrak dan tidak berhubungan dengan realita. Mitos ini jelas-jelas salah kaprah, sebab fakta menunjukkan bahwa matematika sangat realistis. Dalam arti, matematika merupakan bentuk analogi dari realita sehari-hari. Contoh paling sederhana adalah solusi dari Leonhard Euler, matematikawan Prancis, terhadap masalah Jembatan Konisberg. Selain itu, hampir di semua sektor, teknologi, ekonomi dan bahkan sosial, matematika berperan secara signifikan. Robot cerdas yang mampu berpikir berisikan program yang disebut sistem pakar (expert system) yang didasarkan kepada konsep Fuzzy Matematika. Hitungan aerodinamis pesawat terbang dan konsep GPS juga dilandaskan kepada konsep model matematika, goneometri, dan kalkulus. Hampir semua teori-teori ekonomi dan perbankan modern diciptakan melalui matematika.
Mitos kelima menyebutkan, matematika adalah ilmu yang membosankan, kaku, dan tidak rekreatif. Anggapan ini jelas keliru. Meski jawaban (solusi) matematika terasa eksak lantaran solusinya tunggal, tidak berarti matematika kaku dan membosankan. Walau jawaban (solusi) hanya satu (tunggal), cara atau metode menyelesaikan soal matematika sebenarnya boleh bermacam-macam.
Sebagai contoh, untuk mencari solusi dari dua buah persamaan, dapat digunakan tiga cara yaitu, metode subtitusi, eliminasi, dan grafik. Contoh lain, untuk membuktikan kebenaran teorema Phytagoras, dapat dipergunakan banyak cara. Bahkan menurut pakar matematika, Bana G. Kartasasmita, hingga saat ini sudah ada 17 cara untuk membuktikan teorema Phytagoras. Solusi matematika yang bersifat tunggal menimbulkan kenyamanan karena tegas dan pasti, tetapi teknik dan metode untuk mendapatkan solusi tersebut bisa dengan berbagai cara.
Selain tidak membosankan, matematika juga rekreatif dan menyenangkan. Albert Einstein, tokoh fisika terbesar abad ke-20, menyatakan bahwa matematika adalah senjata utama dirinya dalam merumuskan konsep relativitasnya yang sangat terkenal tersebut. Menurut Einstein, dia menyukai matematika ketika pamannya menjelaskan bahwa prosedur kerja matematika mirip dengan cara kerja detektif, sebuah lakon yang sangat disukainya sejak kecil.
Memang, cara kerja matematika mirip sebuah games. Mula-mula kita harus mengidentifikasi variabel-variabel atau parameter-parameter yang ada melalui atributnya masing-masing. Setelah itu, laksanakan operasi di antara variabel dan parameter tersebut. Yang paling menyenangkan, dalam melakukan operasi kita dibebaskan melakukan manipulasi (trik) semau kita agar sampai kepada solusi yang diharapkan. Kebebasan melakukan manipulasi dalam operasi matematika inilah yang menantang dan mengundang keasyikan tersendiri, bak sedang dalam permainan atau petualangan. Karena itu, tidak mengherankan jika terkadang kita menjumpai siswa yang asyik menyendiri dengan soal-soal matematikanya.
Selain itu, secara intrinsik matematika juga memiliki angka berupa bilangan bulat yang mengandung misteri yang sangat mengasyikkan. Misalnya Anda melakukan operasi perkalian maupun pertambahan terhadap dua bilangan tertentu, maka terkadang akan muncul bilangan yang memiliki bentuk simetri tertentu. Contoh lain, Anda dapat menunjukkan kemahiran menebak dengan tepat angka tertentu yang telah mengalami beberapa operasi. Bagi yang belum memahami matematika, kemampuan Anda menebak angka dianggap sihir, padahal itu merupakan operasi.
Matematika adalah ilmu yang mudah dan menyenangkan. Karena itu, siapa pun mampu mempelajarinya dengan baik. Untuk itu, tugas utama kita adalah merobohkan mitos-mitos sesat di sekeliling matematika.
Mitos ketiga, matematika selalu berhubungan dengan kecepatan menghitung. Memang, berhitung adalah bagian tak terpisahkan dari matematika, terutama pada tingkat SD. Tetapi, kemampuan menghitung secara cepat bukanlah hal terpenting dalam matematika. Yang terpenting adalah pemahaman konsep. Melalui pemahaman konsep, kita akan mampu melakukan analisis (penalaran) terhadap permasalahan (soal) untuk kemudian mentransformasikan ke dalam model dan bentuk persamaan matematika. Jika permasalahan (soal) sudah tersaji dalam bentuk persamaan matematika, baru kemampuan menghitung diperlukan. Itu pun bukan sebagai sesuatu yang mutlak, sebab pada saat ini telah banyak beredar alat bantu menghitung seperti kalkulator dan komputer. Jadi, mitos yang lebih tepat adalah matematika selalu berhubungan dengan pemahaman dan penalaran.
Mitos keempat, matematika adalah ilmu abstrak dan tidak berhubungan dengan realita. Mitos ini jelas-jelas salah kaprah, sebab fakta menunjukkan bahwa matematika sangat realistis. Dalam arti, matematika merupakan bentuk analogi dari realita sehari-hari. Contoh paling sederhana adalah solusi dari Leonhard Euler, matematikawan Prancis, terhadap masalah Jembatan Konisberg. Selain itu, hampir di semua sektor, teknologi, ekonomi dan bahkan sosial, matematika berperan secara signifikan. Robot cerdas yang mampu berpikir berisikan program yang disebut sistem pakar (expert system) yang didasarkan kepada konsep Fuzzy Matematika. Hitungan aerodinamis pesawat terbang dan konsep GPS juga dilandaskan kepada konsep model matematika, goneometri, dan kalkulus. Hampir semua teori-teori ekonomi dan perbankan modern diciptakan melalui matematika.
Mitos kelima menyebutkan, matematika adalah ilmu yang membosankan, kaku, dan tidak rekreatif. Anggapan ini jelas keliru. Meski jawaban (solusi) matematika terasa eksak lantaran solusinya tunggal, tidak berarti matematika kaku dan membosankan. Walau jawaban (solusi) hanya satu (tunggal), cara atau metode menyelesaikan soal matematika sebenarnya boleh bermacam-macam.
Sebagai contoh, untuk mencari solusi dari dua buah persamaan, dapat digunakan tiga cara yaitu, metode subtitusi, eliminasi, dan grafik. Contoh lain, untuk membuktikan kebenaran teorema Phytagoras, dapat dipergunakan banyak cara. Bahkan menurut pakar matematika, Bana G. Kartasasmita, hingga saat ini sudah ada 17 cara untuk membuktikan teorema Phytagoras. Solusi matematika yang bersifat tunggal menimbulkan kenyamanan karena tegas dan pasti, tetapi teknik dan metode untuk mendapatkan solusi tersebut bisa dengan berbagai cara.
Selain tidak membosankan, matematika juga rekreatif dan menyenangkan. Albert Einstein, tokoh fisika terbesar abad ke-20, menyatakan bahwa matematika adalah senjata utama dirinya dalam merumuskan konsep relativitasnya yang sangat terkenal tersebut. Menurut Einstein, dia menyukai matematika ketika pamannya menjelaskan bahwa prosedur kerja matematika mirip dengan cara kerja detektif, sebuah lakon yang sangat disukainya sejak kecil.
Memang, cara kerja matematika mirip sebuah games. Mula-mula kita harus mengidentifikasi variabel-variabel atau parameter-parameter yang ada melalui atributnya masing-masing. Setelah itu, laksanakan operasi di antara variabel dan parameter tersebut. Yang paling menyenangkan, dalam melakukan operasi kita dibebaskan melakukan manipulasi (trik) semau kita agar sampai kepada solusi yang diharapkan. Kebebasan melakukan manipulasi dalam operasi matematika inilah yang menantang dan mengundang keasyikan tersendiri, bak sedang dalam permainan atau petualangan. Karena itu, tidak mengherankan jika terkadang kita menjumpai siswa yang asyik menyendiri dengan soal-soal matematikanya.
Selain itu, secara intrinsik matematika juga memiliki angka berupa bilangan bulat yang mengandung misteri yang sangat mengasyikkan. Misalnya Anda melakukan operasi perkalian maupun pertambahan terhadap dua bilangan tertentu, maka terkadang akan muncul bilangan yang memiliki bentuk simetri tertentu. Contoh lain, Anda dapat menunjukkan kemahiran menebak dengan tepat angka tertentu yang telah mengalami beberapa operasi. Bagi yang belum memahami matematika, kemampuan Anda menebak angka dianggap sihir, padahal itu merupakan operasi.
Matematika adalah ilmu yang mudah dan menyenangkan. Karena itu, siapa pun mampu mempelajarinya dengan baik. Untuk itu, tugas utama kita adalah merobohkan mitos-mitos sesat di sekeliling matematika.
Jumat, 14 Oktober 2011
Fakta mengenai 0 dan 1^^
*0 merupakan bilangan cacah pertama
*1 merupakan bilangan asli pertama
*0 bukan merupakan bilangan prima dan juga bukan merupakan bilangan komposit
*1 bukan merupakan bilangan prima dan juga bukan merupakan bilangan komposit
*0 adalah identitas penjumlahan. Karena
untuk setiap a bilangan real
*1 adalah identitas perkalian. Karena
untuk setiap b bilangan real
*Pada basis biner sampai heksadesimal, 0 akan sama dengan 0 pada basis tersebut
*Pada basis biner sampai heksadesimal, 1 akan sama dengan 1 pada basis tersebut
*Nilai faktorial yang sama hanya dimiliki 0 dan 1, yaitu
*Perkalian dengan 0 pasti menghasilkan 0.
*Pembagian dengan 1 pasti menghasilkan bilangan yang tetap.
*Untuk sebarang a bilangan real, maka
kecuali 
*
. Tetapi 
*
. Tetapi 
*
dan 
*Pembagian dengan nol itu tidak didefinisikan.
*Pembagian dengan 1 menghasilkan bilangan semula.
*Sebarang bilangan tak nol, jika dipangkatkan 0 maka akan sama dengan 1.
*Sebarang bilangan, jika dipangkatkan 1 maka akan sama dengan bilangan itu sendiri.
*
itu tidak didefinisikan. Sedangkan 
*
*
Nol
Penulisan suatu bilangan dengan nol di depan itu tidak lazim. Begitu juga pada desimal, penulisan nol di belakang itu juga tidak lazim.
Misalnya : 0000000123 (cukup ditulis 123). 12,4500 (cukup ditulis 12,45)
Sedangkan penulisan angka nol di tengah itu wajib (tidak boleh dihilangkan). Misalnya 1002 (tidak sama dengan 12 atau 102). Begitu juga pada desimal 10,03 (tidak sama dengan 10,3 atau 1,3 atau 1,03)
Angka nol terdapat pada sebarang bilangan dengan sifat penjumlahan atau pengurangan. Misalnya 5. Sama dengan 5+0. Atau bisa juga dituliskan
. Biasanya bentuk-bentuk ini digunakan untuk memanipulasi.
Satu
Angka 1 ada pada sebarang bilangan dengan sifat perkalian dan pembagian. Misalnya 45. Sama dengan
atau 
. Selain itu juga terdapat perpangkatan. 
Banyak sekali konjekture mengenai angka 1.
Barisan Aliquot
Apa itu barisan aliquot? Perhatikan contoh berikut :
10 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2 dan 5. Jika dijumlah hasilnya 8.
8 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2 dan 4. Jika dijumlah hasilnya 7.
7 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1. Jika dijumlah hasilnya 1.
Barisannya yaitu [10, 8, 7, 1]
Apa selalu berujung di 1?
Tidak. karena untuk suatu bilangan sempurna akan selalu kembali ke dirinya. Misalnya 28,
28 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Jika dijumlah hasilnya 28.
Ada juga yang berputar (looping). Yaitu terdapat pada bilangan yang bersahabat. Misalnya 284,
284 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 71 dan 142. Jika dijumlah hasilnya 220.
220 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110. Jika dijumlah hasilnya 284.
Konjekture mengatakan bahwa barisan aliquot tidak akan menuju ke tak hingga.
Banyak sekali yang telah dibuktikan dan menuju ke 1. Meskipun juga cukup banyak yang berputar (looping). Seperti yang pernah ditunjukkan D. N. Lehmer. Dia menunjukkan bahwa 138 menuju ke 1 setelah proses 177 langkah. Bayangkan, banyak sekali langkah yang telah ia lakukan.
Konjektur pada abad ke–19
Sebarang bilangan asli yang dioperasikan dengan syarat-syarat seperti di bawah ini dan dilakukan secara terus menerus, maka hasil akhirnya adalah 1. Syarat-syaratnya yaitu
Jika kita lakukan secara terus menerus, maka tetap akan berakhir pada angka 1. Karena 1 adalah angka ganjil. Masuk ke dalam syarat bilangan ganjil yaitu dikali dengan 3 dan ditambah 1. Menghasilkan angka 4 yang apabila dilakukan langkah sesuai syarat maka hasil akhirnya akan kembali pada angka 1.
Hasil akhir dalam bentuk seperti ini selalu berakhiran 1. Dengan menggunakan komputer yang sudah canggih saat ini, bilangan asli yang sudah memenuhi proses tersebut (selalu berakhiran pada angka 1) adalah sampai pada angka
(pada buku Math charmers : tantalizing tidbits for the mind / Alfred S. Posamentier ; foreword by Herbert A. Hauptman)
Tentang 0 dan 1 yang lain
*Kebanyakan pasangan amicable berakhiran 0 (atau 5). Tidak tahu mengapa.
*0 bukan bilangan positif dan juga bukan bilangan negatif.
*0 bukan bilangan komposit.
*KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari 0 dan 0 adalah 0
*FPB (Faktor persekutuan Terbesar) dari 0 dan 0 adalah “tidak ada”
*Ada tak hingga bilangan real diantara 0 dan 1
*1=0,99999999999999999999999…
*1 merupakan bilangan asli pertama
*0 bukan merupakan bilangan prima dan juga bukan merupakan bilangan komposit
*1 bukan merupakan bilangan prima dan juga bukan merupakan bilangan komposit
*0 adalah identitas penjumlahan. Karena
untuk setiap a bilangan real *1 adalah identitas perkalian. Karena
untuk setiap b bilangan real*Pada basis biner sampai heksadesimal, 0 akan sama dengan 0 pada basis tersebut
*Pada basis biner sampai heksadesimal, 1 akan sama dengan 1 pada basis tersebut
*Nilai faktorial yang sama hanya dimiliki 0 dan 1, yaitu
*Perkalian dengan 0 pasti menghasilkan 0.
*Pembagian dengan 1 pasti menghasilkan bilangan yang tetap.
*Untuk sebarang a bilangan real, maka
kecuali *
. Tetapi *
. Tetapi *
dan *Pembagian dengan nol itu tidak didefinisikan.
*Pembagian dengan 1 menghasilkan bilangan semula.
*Sebarang bilangan tak nol, jika dipangkatkan 0 maka akan sama dengan 1.
*Sebarang bilangan, jika dipangkatkan 1 maka akan sama dengan bilangan itu sendiri.
*
itu tidak didefinisikan. Sedangkan *
*
Nol
Penulisan suatu bilangan dengan nol di depan itu tidak lazim. Begitu juga pada desimal, penulisan nol di belakang itu juga tidak lazim.
Misalnya : 0000000123 (cukup ditulis 123). 12,4500 (cukup ditulis 12,45)
Sedangkan penulisan angka nol di tengah itu wajib (tidak boleh dihilangkan). Misalnya 1002 (tidak sama dengan 12 atau 102). Begitu juga pada desimal 10,03 (tidak sama dengan 10,3 atau 1,3 atau 1,03)
Angka nol terdapat pada sebarang bilangan dengan sifat penjumlahan atau pengurangan. Misalnya 5. Sama dengan 5+0. Atau bisa juga dituliskan
. Biasanya bentuk-bentuk ini digunakan untuk memanipulasi.Satu
Angka 1 ada pada sebarang bilangan dengan sifat perkalian dan pembagian. Misalnya 45. Sama dengan
atau . Selain itu juga terdapat perpangkatan. Banyak sekali konjekture mengenai angka 1.
Barisan Aliquot
Apa itu barisan aliquot? Perhatikan contoh berikut :
10 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2 dan 5. Jika dijumlah hasilnya 8.
8 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2 dan 4. Jika dijumlah hasilnya 7.
7 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1. Jika dijumlah hasilnya 1.
Barisannya yaitu [10, 8, 7, 1]
Apa selalu berujung di 1?
Tidak. karena untuk suatu bilangan sempurna akan selalu kembali ke dirinya. Misalnya 28,
28 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Jika dijumlah hasilnya 28.
Ada juga yang berputar (looping). Yaitu terdapat pada bilangan yang bersahabat. Misalnya 284,
284 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 71 dan 142. Jika dijumlah hasilnya 220.
220 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110. Jika dijumlah hasilnya 284.
Konjekture mengatakan bahwa barisan aliquot tidak akan menuju ke tak hingga.
Banyak sekali yang telah dibuktikan dan menuju ke 1. Meskipun juga cukup banyak yang berputar (looping). Seperti yang pernah ditunjukkan D. N. Lehmer. Dia menunjukkan bahwa 138 menuju ke 1 setelah proses 177 langkah. Bayangkan, banyak sekali langkah yang telah ia lakukan.
Konjektur pada abad ke–19
Sebarang bilangan asli yang dioperasikan dengan syarat-syarat seperti di bawah ini dan dilakukan secara terus menerus, maka hasil akhirnya adalah 1. Syarat-syaratnya yaitu
Jika bilangan itu genap, maka bilangan itu dibagi 2
Jika bilangan itu ganjil, maka bilangan itu dikali 3 kemudian ditambah 1
Misalnya kita pilih bilangan 23.| Bilangan awal | Proses | Hasil |
| 23 | 23∙3+1 | 70 |
| 70 | 70/2 | 35 |
| 35 | 35∙3+1 | 106 |
| 106 | 106/2 | 53 |
| 53 | 53∙3+1 | 160 |
| 160 | 160/2 | 80 |
| 80 | 80/2 | 40 |
| 40 | 40/2 | 20 |
| 20 | 20/2 | 10 |
| 10 | 10/2 | 5 |
| 5 | 5∙3+1 | 16 |
| 16 | 16/2 | 8 |
| 8 | 8/2 | 4 |
| 4 | 4/2 | 2 |
| 2 | 2/2 | 1 |
Jika kita lakukan secara terus menerus, maka tetap akan berakhir pada angka 1. Karena 1 adalah angka ganjil. Masuk ke dalam syarat bilangan ganjil yaitu dikali dengan 3 dan ditambah 1. Menghasilkan angka 4 yang apabila dilakukan langkah sesuai syarat maka hasil akhirnya akan kembali pada angka 1.
| 1 | 1∙3+1 | 4 |
| 4 | 4/2 | 2 |
| 2 | 2/2 | 1 |
Hasil akhir dalam bentuk seperti ini selalu berakhiran 1. Dengan menggunakan komputer yang sudah canggih saat ini, bilangan asli yang sudah memenuhi proses tersebut (selalu berakhiran pada angka 1) adalah sampai pada angka
(pada buku Math charmers : tantalizing tidbits for the mind / Alfred S. Posamentier ; foreword by Herbert A. Hauptman)Tentang 0 dan 1 yang lain
*Kebanyakan pasangan amicable berakhiran 0 (atau 5). Tidak tahu mengapa.
*0 bukan bilangan positif dan juga bukan bilangan negatif.
*0 bukan bilangan komposit.
*KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari 0 dan 0 adalah 0
*FPB (Faktor persekutuan Terbesar) dari 0 dan 0 adalah “tidak ada”
*Ada tak hingga bilangan real diantara 0 dan 1
*1=0,99999999999999999999999…
30 TIPS MENGUASAI MATEMATIKA DENGAN CEPAT : MATEMATIKA MEMANG MENYENANGKAN^^
matematika adalah pelajaran yang susah, nah oleh karena itu kita di harapkan memiliki trik tersendiri dalam mengerjakan soal matematika…berikut trik-trik dari saya yang telah di uji kan di seluruh dunia:
1. Kerjakan apa yang disuruh oleh ibu guru, kalau di suruh perluas/kembangkan rumusnya, harap anda perluas/kembangkan sendiri.
2. berikan komentar pada grafik anda
3. kerjakan apa yang diperintahkan
4. coba sedikit kreatifitas kalo mengerjakan soal
5. contoh soal akan mencerminkan soal ujian
6. kalo gak bisa ngerjain soal, bilang aja ada yang ganggu konsentrasi
7. jangan mengancam
8. jangan ngawur dan jangan salahkan alien
9. kemungkinan besar jawaban sudah ada di soal
10. Semangati diri anda
11. gunakan matematika untuk apa yang anda sukai
12. coba metode putar-putar
13. lebih teliti lagi, kalo sudah anda pasti benar
14. matematika = mati kita (tolong jangan bunuh diri hanya karena matematika)
15. kroscek soal anda dengan jawaban anda
16. buktikan bahwa soal yang di tulis oleh guru anda itu tidak masuk akal
17. berikan referensi yang tepat bagi jawaban anda
18. cari perhatian guru/ dosen kita
19. koreksi soalnya jika salah, jangan mau di bodohi ma guru atau dosen anda
20. jangan menyerah (The nasib) di balik kesusahan ada nilai 0
21. pakai cara anda, siapa tahu anda punya bibit profesor di kepala anda
22. Buktikan
23. berikan definisi yang baik
24. gak boleh ngeluarin kata-kata jorok, pamali
25. coba lebih rendah diri dengan minta maaf, mungkin bisa membantu anda
26. buat matematika itu menyenangkan
27. kembalikan pada tuhan
28. cari tahu apa yang membuat anda gagal di matematika
29. singkat, padat dan jelas
30. cari jurusan lain selain matematika kalo memang udah gak betah liat rumus matematika
Nah Kalo dah kayak gini, kita pasti semua bisa matematika, karena ternyata matematika itu amat menyenangkan dan tidak susah, asal mau mengikuti 30 tips dari saya.
sumber: http://ihsanhasan.wordpress.com/2010/01/30/1/
1. Kerjakan apa yang disuruh oleh ibu guru, kalau di suruh perluas/kembangkan rumusnya, harap anda perluas/kembangkan sendiri.
2. berikan komentar pada grafik anda
3. kerjakan apa yang diperintahkan
4. coba sedikit kreatifitas kalo mengerjakan soal
5. contoh soal akan mencerminkan soal ujian
6. kalo gak bisa ngerjain soal, bilang aja ada yang ganggu konsentrasi
7. jangan mengancam
8. jangan ngawur dan jangan salahkan alien
9. kemungkinan besar jawaban sudah ada di soal
10. Semangati diri anda
11. gunakan matematika untuk apa yang anda sukai
12. coba metode putar-putar
13. lebih teliti lagi, kalo sudah anda pasti benar
14. matematika = mati kita (tolong jangan bunuh diri hanya karena matematika)
15. kroscek soal anda dengan jawaban anda
16. buktikan bahwa soal yang di tulis oleh guru anda itu tidak masuk akal
17. berikan referensi yang tepat bagi jawaban anda
18. cari perhatian guru/ dosen kita
19. koreksi soalnya jika salah, jangan mau di bodohi ma guru atau dosen anda
20. jangan menyerah (The nasib) di balik kesusahan ada nilai 0
21. pakai cara anda, siapa tahu anda punya bibit profesor di kepala anda
22. Buktikan
23. berikan definisi yang baik
24. gak boleh ngeluarin kata-kata jorok, pamali
25. coba lebih rendah diri dengan minta maaf, mungkin bisa membantu anda
26. buat matematika itu menyenangkan
27. kembalikan pada tuhan
28. cari tahu apa yang membuat anda gagal di matematika
29. singkat, padat dan jelas
30. cari jurusan lain selain matematika kalo memang udah gak betah liat rumus matematika
Nah Kalo dah kayak gini, kita pasti semua bisa matematika, karena ternyata matematika itu amat menyenangkan dan tidak susah, asal mau mengikuti 30 tips dari saya.
sumber: http://ihsanhasan.wordpress.com/2010/01/30/1/
Langganan:
Komentar (Atom)