Sejarah Angka Nol (Part 2)

Oleh: Al Jupri

Artikel ini adalah lanjutan dari Sejarah Angka Nol (Part 1).

“Sebelum bapak menjawab pertanyaan mu, Tom, bapak akan lanjutkan dulu sejarah tentang Brahmagupta dan angka nolnya! Ok?” tanya Pak Zero pada siswa-siswinya, khususnya Tom yang sudah bertanya.

“Yaaaaaaaaa……….. bapak, enggak asyik, ah!!!!” spontan Jerry berteriak, karena sejak tadi sudah tak sabar menahan rasa ingin tahunya. Kontan, seisi kelas melirik padanya. Jerry hanya bisa cengar-cengir disaksikan kawan-kawannya.

“Konon, walau angka nol dilambangkan berupa titik, Brahmagupta sudah secara sistematis mengenal sifat-sifat operasi bilangan dengan angka nol, khususnya operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.” kata Pak Zero melanjutkan kisah sejarah angka nolnya.

Pak Zero sengaja diam sebentar, menunggu reaksi murid-muridnya, apakah mereka menyimak dengan baik atau hanya terbengong-bengong saja. Pak Zero berharap ada siswa atau siswinya yang menanyakan tentang operasi pembagian dengan nol. Tapi, harapannya tidak terwujud. Para siswanya tetap diam, menantikan kelanjutan kisah sang angka nol.

Pak Zero tidak kehilangan akal. Untuk menggali sifat kritis para siswanya, dia memancing dengan pertanyaan.

“Ok, di antara kalian, coba siapa yang paling mengerti tentang angka nol dan sifat operasi-operasi padanya?”

Sejenak seisi kelas diam.

Tiba-tiba, Jerry kembali membuat ulah. “Pak, setahu saya, sejak SD dulu, si Udin tuh yang paling akrab dengan nol!”

“Maksud mu bagaimana Jerr?” tanya Pak Zero dengan tampak sabar, karena sebetulnya menahan rasa kesal.

“Maksudnya, setahu saya, si Udin sering sekali dapat nol dalam pelajaran matematika, Pak!!!

“Ha ha ha ha ha….” tanpa dikomando, hampir seisi kelas, kecuali Udin, tertawa mendengarnya. Untungnya, Udin tidak mudah sakit hati sebab sudah tahu sifat Jerry yang memang suka meledek dan bercanda sejak SD dulu. Jadi, Udin senyam-senyum saja, santai, sambil menunggu kesempatan membalasnya.:)

“Sudah-sudah! Jangan suka ngeledek! Yuk, kita lanjutkan ceritanya!” Pak Zero menengahi keadaan.

***

“Pak, apakah maksud dari sifat operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan nol itu?” tanya Rahma, siswi yang duduk paling depan, tepat di depan meja Pak Zero. Pak Zero yang semula akan melanjutkan kisah angka nol, mengurungkan sementara.

“Menurut mu bagaimana?” Pak Zero balik bertanya. Rahma tersenyum, berpikir, lalu mencoba mengungkapkan pendapatnya.

“Yang saya tahu sih, kalau bilangan ditambah atau dikurangi dengan nol, ya hasilnya bilangan itu sendiri!” jawab Rahma dengan penuh percaya diri.

“Bisa memberi contohnya?” lagi-lagi Pak Zero bertanya pada muridnya itu.

“Pak, saya bisa memberi contoh!” jawab Udin tanpa diminta. Sementara Rahma yang semula akan memberi contoh, tidak jadi mengungkapkan pendapatnya.

‘Misalnya begini, Pak. 4 + 0 = 4, 4 – 0 = 4, dan ini berlaku bagi bilangan lainnya, termasuk nol itu sendiri!” lanjut Udin memberi penjelasan.

Pak Zero: “Ok, bagus Din! Selanjutnya, bagaimana tentang perkalian dengan nol?”

“Itu sih, gampang, Pak. Kalau kita mempunyai sebuah bilangan, lalu dikali dengan nol, maka hasilnya, pasti nol! Contohnya, 4 x 0 = 0, 10 x 0 = 0, dan seterusnya!” jawab Dirman, mendahului Jerry yang sedari tadi ingin berpendapat.

Pak Zero: “Bagus Dirman!”

Sementara itu, sejak tadi Tom berpikir tentang pembagian angka nol. Dia mengalami kesulitan yang tak terpikirkan sebelumnya.

“Pak, kalau pembagian dengan nol bagaimana? Dari tadi, saya memikirkan, misalnya 4 : 0, lalu 0 : 4, tapi saya kesulitan menemukan jawabannya, Pak! kata Tom berpendapat, tepat sebelum Pak Zero menanyakan hal itu kepada siswa-siswi lainnya.

Pak Zero: “Ayo, siapa yang bisa jawab pertanyaan Tom?”

Kali ini, kelas terdiam sediam-diamnya. Tampak seluruh siswa berpikir, mencoba mencari tahu jawab pertanyaan Tom. Bahkan, Jerry yang biasanya berulah, kini memainkan pensilnya di atas kertas, mengutak-atik pembagian dengan nol.

Sementara itu, Pak Zero sabar menunggu reaksi siswa-siswinya sambil menandai daftar hadir dengan tanda ceklist, yang sedari tadi lupa dilakukan saat mengecek kehadiran siswa-siswinya.

Sepuluh menit waktu berlalu, belum juga ada reaksi dari Tom dan teman-temannya.

Pak Zero: “Ok, sudah 10 menit bapak menunggu. Tapi, belum ada jawaban dari kalian! Karena itu, pertanyaan Tom bapak jadikan PR buat kalian!”

“Yaaaaaaaaa, bapak!” serempak, kelas bergema, menandakan kekecewaan.

Pak Zero sengaja melakukan hal itu, agar siswa-siswinya sendiri yang menemukan jawaban atas rasa keingintahuan mereka. Sebuah proses pembelajaran yang konstruktif. Ini sesuai teori pembelajaran yang pernah dipelajari Pak Zero, di Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia (dahulu bernama IKIP Bandung), yakni teori konstruktivisme dalam pembelajaran.

Pak Zero: “Ok, ok, kalian jangan kecewa! Kalau kalian merasa sulit, itu biasa, tidak masalah. Bahkan Brahmagupta sendiri, sang matematikawan India itu, sungguh mengalami kesulitan tentang operasi pembagian dengan nol. Hingga akhir hayatnya, dia tak mampu menemukan jawab masalah ini! Karena itu, bila kalian dapat memecahkan masalah pembagian dengan nol, berarti kalian hebat!”

Demikian kata Pak Zero, menyemangati siswa-siswinya, agar tidak kecewa.

“Kalau begitu, apakah sampai saat ini masalah pembagian dengan nol belum terpecahkan, Pak?” kembali Tom bertanya.

Pak Zero: “Tentu sudah, Tom! Karena itu, pertanyaanmu bapak jadikan PR. Tugas kamu dan kawan-kawan adalah mencari tahu jawabnya. Entah di perpustakaan, atau di mana saja!”

“Pak, yang berhasil memecahkan masalah pembagian dengan nol, siapa Pak? Apakah orang biasa atau matematikawan juga?” tanya Rahma, yang juga penasaran ingin tahu.

Pak Zero: “Tentang masalah pembagian dengan nol, baru terpecahkan sekitar 10 abad setelah masa Brahmagupta. Adalah Newton dan Leibniz yang membahas masalah itu dan berhasil memecahkannya.” Demikian kata Pak Zero, sambil menuliskan kedua tokoh yang baru saja disebutnya di papan tulis: NEWTON & LEIBNIZ, abad 17.

“Pak, NEWTON itu siapa?” tanya Udin, yang terdengar lucu sebab menyebut Newton sesuai apa yang tertulis, bukan seperti cara baca yang dicontohkan Pak Zero (yaitu “nyu ton”).

“Udah dong Din, jangan bertanya-tanya hal lain dulu. Sejak tadi kan, kita ingin tahu sifat pembagian dengan nol. Lalu, sebelumnya kita juga belum tahu, siapa matematikawan yang pertama kali menggunakan lambang nol seperti yang kita gunakan sekarang!” sewot Jerry, yang rupanya makin penasaran karena makin banyak hal yang belum terceritakan oleh Pak Zero.

Pak Zero: “Ok, ok, akan bapak ceritakan lanjutan kisahnya. Ayo, dengarkan bapak baik-baik!”

Baru saja kelas mulai tenang dan para siswa siap-siap mendengar lanjutan kisah angka nol dari Pak Zero, tiba-tiba lonceng berbunyi dua kali, menandakan waktu pelajaran matematika hari itu telah habis.

‘Baiklah anak-anak sekalian, berhubung waktu habis, dongeng angka nolnya bapak lanjutkan pertemuan berikutnya ya….”

***

Catatan: Mudah-mudahan artikel ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin. Selamat menantikan kisah selanjutnya! Dan, selamat menunaikan berbagai ibadah di bulan Ramadhan yang mulia ini.

Sejarah Angka Nol (Part 1)

Oleh: Al Jupri

Waktu itu adalah hari Senin. Hari pertama Tom dan kawan-kawan masuk sekolah. Hari pertama belajar di SMP Pembangunan, satu-satunya SMP di pinggiran suatu kecamatan di ujung barat pulau Jawa.

Menurut jadwal yang sudah ditetapkan, dan sudah dicatat oleh Tom saat masa orientasi siswa (MOS), pelajaran pertama hari Senin adalah matematika. Satu pelajaran yang disukainya sejak SD dulu.

***

Lonceng sekolah berbunyi empat kali. Menandakan jam masuk sekolah dan pelajaran pertama akan segera dimulai. Para siswa segera masuk kelas, duduk dengan rapi, menunggu guru matematika mereka.

Saat menunggu, Tom membayangkan guru matematika yang akan masuk adalah seorang yang guru yang sudah tua dan ditakuti siswa-siswinya. Tom pernah mendengar dari kakak-kakak kelasnya bahwa guru-guru matematika di SMP Pembangunan terkenal sangat galak, ditakuti, dan tidak disukai siswa-siswinya.

Tiba-tiba lamunan Tom terpecah karena mendengar ucapan salam dari sang guru matematika. Ternyata, yang dibayangkan Tom salah. Guru matematikanya ternyata masih muda, dan sepertinya adalah guru baru di SMP Pembangunan. Setelah berdo’a dan lain sebagainya, tiba giliran sang guru mengenalkan diri sebelum memulai pelajaran.

“Anak-anak sekalian, sebelum kita mulai pelajaran, bapak akan perkenalkan diri bapak dulu, lalu bapak pun ingin mengenal satu-persatu kalian! Nama bapak adalah Al Zero. Orang-orang biasa memanggil Zero, tapi ada juga yang memanggil Al. Kalau ada yang mau kalian tanyakan, bapak persilakan!”

Demikian Pak Zero memperkenalkan diri.

Sambil menunggu pertanyaan, Pak Zero berusaha mengenali siswa-siswinya, dengan memanggil satu persatu nama mereka dari daftar hadir yang beliau bawa.

Kelas masih diam, siswa-siswi Pak Zero rupanya masih enggan bertanya. Baru saja Pak Zero akan bicara, tiba-tiba muncul pertanyaan.

“Pak, kenapa nama bapak Al Zero? Apa artinya?”

Ya, itulah pertanyaan singkat yang diajukan Udin, kawan sebangku Tom. Pak Zero tidak langsung menjawab, sedikit tersenyum dan sepertinya berpikir untuk menjawabnya.

“Ok, terima kasih, pertanyaan yang bagus, Din! Mm…kalian, selain Udin, mau tahu juga?

Serentak, semua siswa Pak Zero mengatakan, “Mauuuuuuuu…”. Mulai saat itu, terjadilah proses pembelajaran matematika melalui tanya jawab seperti berikut ini.

Pak Zero: “Mmm…Zero adalah satu kata yang berasal dari bahasa Inggris. Mm… kalian sudah pernah belajar bahasa Inggris, kan?”

Tak ada siswa yang mengaku, kelas kembali terdiam. Semua siswa diam. Terdiamnya mereka karena memang tak ada satu pun di antara mereka yang pernah belajar bahasa Inggris. Sungguh berbeda nasib mereka dengan siswa-siswa yang ada di kota yang sejak SD sudah pernah belajar bahasa Inggris, baik melalui kursus atau dari sekolah.

Pak Zero baru sadar bahwa yang dihadapinya adalah siswa-siswi SMP, yang sewaktu SD belum pernah mempelajari bahasa asing, termasuk bahasa Inggris.

Pak Zero: “Ok, jadi, zero itu artinya nol! Ya, nol!

“Lalu, kenapa bapak dinamai Zero alias Nol?” tanya Dirman dengan rasa ingin tahu yang tinggi!

Pak Zero: “Orang tua bapak seorang pedagang yang cukup gemar membaca, khususnya tentang sejarah matematika. Saat ada dalam kandungan, orang tua bapak ingin sekali menamai anaknya dengan nama yang berasal dari istilah matematika.”

Para siswa menyimak dengan baik apa yang diceritakan Pak Zero.

Pak Zero: “Dari sekian banyak istilah matematika yang diketahui orang tua bapak, hampir semuanya tidak cocok untuk dijadikan nama. Mereka terus berpikir dan mencari, hingga, entah dengan sebab apa, orang tua bapak menamai bapak dengan Al Zero. Katanya sih, terinspirasi dari nama penyanyi terkenal, tapi nama itu erat kaitannya pula dengan sejarah matematika, khususnya tentang angka nol!”

“Kalau begitu, bapak tahu dong sejarah angka nol?” tanya Tom, tiba-tiba berani mengungkapkan rasa ingin tahunya.

“Iya, Pak, ceritakan tentang angka nol pada kami!” pinta Jerry, seorang siswa yang duduk di pojok kanan belakang kelas.

Pak Zero: “Ok, akan bapak ceritakan! Sekalian ini anggap saja sebagai pembuka topik yang akan kita pelajari nanti. Cerita ini cocok dengan pelajaran yang akan kita pelajari, yaitu tentang bilangan bulat!

“Horee… pelajaran matematikanya lewat dongeng!” kata Udin dalam hati. Udin pantas bergembira, sebab sejak SD dia memang kurang menyukai matematika, seringnya takut belajar satu pelajaran ini.

Pak Zero pun memulai ceritanya, tentang nol. Ya, tentang satu kata yang nyantel di namanya. Beginilah ceritanya.

“Konon, dibandingkan angka-angka yang lain, nol merupakan angka yang relative baru ditemukan! Menurut para ahli sejarah matematika, gagasan tentang nol pertama kali ditemukan di catatan Brahmagupta pada abad 7 Masehi.”

Udin: “Pak, Brahmagupta itu siapa?”

Pak Zero: “Brahmagupta adalah salah seorang matematikawan yang berasal dari negeri India. Ya negerinya tuan Takur, yang terkenal dalam film-film India itu!”

“Ha ha ha…” hampir semua siswa tertawa mendengar cerita Pak Zero, karena menyebut satu tokoh terkenal (bengis) dalam film India.

“Konon, di catatan Brahmagupta, angka nol dilambangkan tidak seperti sekarang. Lambangnya waktu itu baru berupa titik. Bukan bundaran seperti sekarang!”

“Berarti, bukan Brahmagupta dong yang menemukan angka nol? Lalu siapa, Pak, yang pertama kali menggunakan lambang 0 seperti sekarang?” tanya Tom dengan sangat kritis. Pertanyaan yang tak terduga, mengagetkan Pak Zero.

Apa tanggapan Pak Zero terhadap pertanyaan, Tom? Tunggu artikel selanjutnya. Sabar ya…

Portal Matematika^^

	Matematika secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang. Matematika juga dapat didefinisikan sebagai penelitian bilangan dan angka. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika. Pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika. Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan seringkali berasal dari Ilmu Pengetahuan Alam, sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga menegaskan dan menyelidiki struktur karena struktur dapat menyediakan generalisasi pemersatu bagi beberapa sub-bidang, atau alat bantu untuk perhitungan biasa. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Nuvola_apps_edu_mathematics.png/30px-Nuvola_apps_edu_mathematics.png

Satuan Panjang, Berat, Isi, dan Luas^^

SATUAN PANJANG :
1 inci = 2,54 cm
1 foot = 12 inci = 0,3048 m
1 yard = 3 feet = 0,9144 m
1 mile = 1.760 yards
1 mile = 1,6093 km
SATUAN BERAT:
1 ton = 1000 kg
1 ton = 10 kwintal
1 kwintal = 100 kg
1 kg = 2 pon
1 pon = 5 ons
1 hg = 1 ons
1 kg = 10 ons
1 ons = 100 gram
SATUAN LUAS:
1 hektar = 10.000 m²
1 are = 1 dam² = 100 m²
SATUAN ISI:
1 m³ = 1000 liter
1 dm³ = 1 liter
1 liter = 1000 cm³
1 cm³ = 1 cc
1 barrel = 158,99 liter
1 gallon = 4,5461 liter
SATUAN LAIN :
1 gross = 144 buah
1 gross = 12 lusin
1 lusin = 12 buah
1 kodi = 20 helai
1 rim = 500 lembar

Simbol Matematika^^

=	kesamaan	x = y berarti x and y mewakili hal atau nilai yang sama.	1 + 1 = 2
	sama dengan
	umum
≠	Ketidaksamaan	x ≠ y berarti x dan y tidak mewakili hal atau nilai yang sama.	1 ≠ 2
	tidak sama dengan
	umum
< >	ketidaksamaan	x < y berarti x lebih kecil dari y. x > y means x lebih besar dari y.	3 < 4 5 > 4
	lebih kecil dari; lebih besar dari
	order theory
≤ ≥	inequality	x ≤ y berarti x lebih kecil dari atau sama dengan y. x ≥ y berarti x lebih besar dari atau sama dengan y.	3 ≤ 4 and 5 ≤ 5 5 ≥ 4 and 5 ≥ 5
	lebih kecil dari atau sama dengan, lebih besar dari atau sama dengan
	order theory
+	tambah	4 + 6 berarti jumlah antara 4 dan 6.	2 + 7 = 9
	tambah
	aritmatika
	disjoint union	A1 + A2 means the disjoint union of sets A1 and A2.	A1={1,2,3,4} ∧ A2={2,4,5,7} ⇒ A1 + A2 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (2,2), (4,2), (5,2), (7,2)}
	the disjoint union of … and …
	teori himpunan
−	kurang	9 − 4 berarti 9 dikurangi 4.	8 − 3 = 5
	kurang
	aritmatika
	tanda negatif	−3 berarti negatif dari angka 3.	−(−5) = 5
	negatif
	aritmatika
	set-theoretic complement	A − B berarti himpunan yang mempunyai semua anggota dari A yang tidak terdapat pada B.	{1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}
	minus; without
	set theory
×	multiplication	3 × 4 berarti perkalian 3 oleh 4.	7 × 8 = 56
	kali
	aritmatika
	Cartesian product	X×Y means the set of all ordered pairs with the first element of each pair selected from X and the second element selected from Y.	{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
	the Cartesian product of … and …; the direct product of … and …
	teori himpunan
	cross product	u × v means the cross product of vectors u and v	(1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2)
	cross
	vector algebra
÷ /	division	6 ÷ 3 atau 6/3 berati 6 dibagi 3.	2 ÷ 4 = .5 12/4 = 3
	bagi
	aritmatika
√	square root	√x berarti bilangan positif yang kuadratnya x.	√4 = 2
	akar kuadrat
	bilangan real
	complex square root	if z = r exp(iφ) is represented in polar coordinates with -π < φ ≤ π, then √z = √r exp(iφ/2).	√(-1) = i
	the complex square root of; square root
	Bilangan kompleks
| |	absolute value	|x| means the distance in the real line (or the complex plane) between x and zero.	|3| = 3, |-5| = |5| |i| = 1, |3+4i| = 5
	nilai mutlak dari
	numbers
!	factorial	n! adalah hasil dari 1×2×...×n.	4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
	faktorial
	combinatorics
~	probability distribution	X ~ D, means the random variable X has the probability distribution D.	X ~ N(0,1), the standard normal distribution
	has distribution
	statistika
⇒ → ⊃	material implication	A ⇒ B means if A is true then B is also true; if A is false then nothing is said about B. → may mean the same as ⇒, or it may have the meaning for functions given below. ⊃ may mean the same as ⇒, or it may have the meaning for superset given below.	x = 2  ⇒  x2 = 4 is true, but x2 = 4   ⇒  x = 2 is in general false (since x could be −2).
	implies; if .. then
	propositional logic
⇔ ↔	material equivalence	A ⇔ B means A is true if B is true and A is false if B is false.	x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = y
	if and only if; iff
	propositional logic
¬ ˜	logical negation	The statement ¬A is true if and only if A is false. A slash placed through another operator is the same as "¬" placed in front.	¬(¬A) ⇔ A x ≠ y  ⇔  ¬(x =  y)
	not
	propositional logic
∧	logical conjunction or meet in a lattice	The statement A ∧ B is true if A and B are both true; else it is false.	n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3 when n is a natural number.
	and
	propositional logic, lattice theory
∨	logical disjunction or join in a lattice	The statement A ∨ B is true if A or B (or both) are true; if both are false, the statement is false.	n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 when n is a natural number.
	or
	propositional logic, lattice theory
⊕ ⊻	exclusive or	The statement A ⊕ B is true when either A or B, but not both, are true. A ⊻ B means the same.	(¬A) ⊕ A is always true, A ⊕ A is always false.
	xor
	propositional logic, Boolean algebra
∀	universal quantification	∀ x: P(x) means P(x) is true for all x.	∀ n ∈ N: n2 ≥ n.
	for all; for any; for each
	predicate logic
∃	existential quantification	∃ x: P(x) means there is at least one x such that P(x) is true.	∃ n ∈ N: n is even.
	there exists
	predicate logic
∃!	uniqueness quantification	∃! x: P(x) means there is exactly one x such that P(x) is true.	∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.
	there exists exactly one
	predicate logic
:= ≡ :⇔	definition	x := y or x ≡ y means x is defined to be another name for y (but note that ≡ can also mean other things, such as congruence). P :⇔ Q means P is defined to be logically equivalent to Q.	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
	is defined as
	everywhere
{ , }	set brackets	{a,b,c} means the set consisting of a, b, and c.	N = {0,1,2,...}
	the set of ...
	teori himpunan
{ : } { | }	set builder notation	{x : P(x)} means the set of all x for which P(x) is true. {x | P(x)} is the same as {x : P(x)}.	{n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}
	the set of ... such that ...
	teori himpunan
∅ {}	himpunan kosong	∅ berarti himpunan yang tidak memiliki elemen. {} juga berarti hal yang sama.	{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = ∅
	himpunan kosong
	teori himpunan
∈ ∉	set membership	a ∈ S means a is an element of the set S; a ∉ S means a is not an element of S.	(1/2)−1 ∈ N 2−1 ∉ N
	is an element of; is not an element of
	everywhere, teori himpunan
⊆ ⊂	subset	A ⊆ B means every element of A is also element of B. A ⊂ B means A ⊆ B but A ≠ B.	A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
	is a subset of
	teori himpunan
⊇ ⊃	superset	A ⊇ B means every element of B is also element of A. A ⊃ B means A ⊇ B but A ≠ B.	A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q
	is a superset of
	teori himpunan
∪	set-theoretic union	A ∪ B means the set that contains all the elements from A and also all those from B, but no others.	A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B
	the union of ... and ...; union
	teori himpunan
∩	set-theoretic intersection	A ∩ B means the set that contains all those elements that A and B have in common.	{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}
	intersected with; intersect
	teori himpunan
\	set-theoretic complement	A \ B means the set that contains all those elements of A that are not in B.	{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
	minus; without
	teori himpunan
( )	function application	f(x) berarti nilai fungsi f pada elemen x.	Jika f(x) := x2, maka f(3) = 32 = 9.
	of
	teori himpunan
	precedence grouping	Perform the operations inside the parentheses first.	(8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4.
	umum
f:X→Y	function arrow	f: X → Y means the function f maps the set X into the set Y.	Let f: Z → N be defined by f(x) = x2.
	from ... to
	teori himpunan
o	function composition	fog is the function, such that (fog)(x) = f(g(x)).	if f(x) = 2x, and g(x) = x + 3, then (fog)(x) = 2(x + 3).
	composed with
	teori himpunan
N ℕ	Bilangan asli	N berarti {0,1,2,3,...}, but see the article on natural numbers for a different convention.	{|a| : a ∈ Z} = N
	N
	Bilangan
Z ℤ	Bilangan bulat	Z berarti {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.	{a : |a| ∈ N} = Z
	Z
	Bilangan
Q ℚ	Bilangan rasional	Q berarti {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}.	3.14 ∈ Q π ∉ Q
	Q
	Bilangan
R ℝ	Bilangan real	R berarti {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, the limit exists}.	π ∈ R √(−1) ∉ R
	R
	Bilangan
C ℂ	Bilangan kompleks	C means {a + bi : a,b ∈ R}.	i = √(−1) ∈ C
	C
	Bilangan
∞	infinity	∞ is an element of the extended number line that is greater than all real numbers; it often occurs in limits.	limx→0 1/|x| = ∞
	infinity
	numbers
π	pi	π berarti perbandingan (rasio) antara keliling lingkaran dengan diameternya.	A = πr² adalah luas lingkaran dengan jari-jari (radius) r
	pi
	Euclidean geometry
|| ||	norm	||x|| is the norm of the element x of a normed vector space.	||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||
	norm of; length of
	linear algebra
∑	summation	∑k=1n ak means a1 + a2 + ... + an.	∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
	sum over ... from ... to ... of
	aritmatika
∏	product	∏k=1n ak means a1a2···an.	∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
	product over ... from ... to ... of
	aritmatika
	Cartesian product	∏i=0nYi means the set of all (n+1)-tuples (y0,...,yn).	∏n=13R = Rn
	the Cartesian product of; the direct product of
	set theory
'	derivative	f '(x) is the derivative of the function f at the point x, i.e., the slope of the tangent there.	If f(x) = x2, then f '(x) = 2x
	… prime; derivative of …
	kalkulus
∫	indefinite integral or antiderivative	∫ f(x) dx means a function whose derivative is f.	∫x2 dx = x3/3 + C
	indefinite integral of …; the antiderivative of …
	kalkulus
	definite integral	∫ab f(x) dx means the signed area between the x-axis and the graph of the function f between x = a and x = b.	∫0b x2  dx = b3/3;
	integral from ... to ... of ... with respect to
	kalkulus
∇	gradient	∇f (x1, …, xn) is the vector of partial derivatives (df / dx1, …, df / dxn).	If f (x,y,z) = 3xy + z² then ∇f = (3y, 3x, 2z)
	del, nabla, gradient of
	kalkulus
∂	partial derivative	With f (x1, …, xn), ∂f/∂xi is the derivative of f with respect to xi, with all other variables kept constant.	If f(x,y) = x2y, then ∂f/∂x = 2xy
	partial derivative of
	kalkulus
	boundary	∂M means the boundary of M	∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : || x || = 2}
	boundary of
	topology
⊥	perpendicular	x ⊥ y means x is perpendicular to y; or more generally x is orthogonal to y.	If l⊥m and m⊥n then l || n.
	is perpendicular to
	geometri
	bottom element	x = ⊥ means x is the smallest element.	∀x : x ∧ ⊥ = ⊥
	the bottom element
	lattice theory
|=	entailment	A ⊧ B means the sentence A entails the sentence B, that is every model in which A is true, B is also true.	A ⊧ A ∨ ¬A
	entails
	model theory
|-	inference	x ⊢ y means y is derived from x.	A → B ⊢ ¬B → ¬A
	infers or is derived from
	propositional logic, predicate logic
◅	normal subgroup	N ◅ G means that N is a normal subgroup of group G.	Z(G) ◅ G
	is a normal subgroup of
	group theory
/	quotient group	G/H means the quotient of group G modulo its subgroup H.	{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}
	mod
	group theory
≈	isomorphism	G ≈ H means that group G is isomorphic to group H	Q / {1, −1} ≈ V, where Q is the quaternion group and V is the Klein four-group.
	is isomorphic to
	group theory

Tahukah anda?^^ Matematika

• ... bahwa ada 7 masalah matematika yang tak terpecahkan dan Anda akan mendapat sejuta dolar jika sanggup memecahkan setiap masalahnya?

• ... bahwa pada umur 10 tahun, Carl Friedrich Gauss membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100?

• ... bahwa Barisan Polinom dapat membantu menentukan rumus umum sembarang barisan yang diketahui beberapa suku awalnya?